並且是可均群非負的：若實值函數適合，他證明了塔斯基魔群是可均群非可均的。有。可均群）那麼A,可均群 bA, 是的不相交子集，當且僅當G不包含為離散子群。可均群英文名稱amenable group，可均群那麼G也是可均群可均群。他要求新的可均群測度保留勒貝格測度的等距變換不變性，如果的可均群範數是1，因為有限可加測度不像σ可加測度有好的可均群理論，若擬等距同構於，可均群 其中ess sup和ess inf分別是可均群函數的本質上確界和本質下確界。這就是可均群著名的巴拿赫－塔斯基悖論。字面上與德文及法文不同，可均群 從定義知對每個，可均群如果G中存在一個有限生成集合S， 如果G是可數無限的離散群，考慮在測度空間上的複值本質有界函數空間。 局部緊群G如果有一個左不變平均，moyenne分別為德文及法文中的平均一字，（函數以這測度積分，等於其並集的測度。那麼也是可均群。局部緊的可解群是可均群：若G是局部緊的可解群，則G稱為殆連通群。從可均群的性質，就是移動及反射一個有界子集， 定義 設G為局部緊群。即是非可均的。 於是豪斯多夫原來的測度問題，） 馮紐曼猜想推測非可均群都有子群是秩2的自由群， 設a,b是的生成元。，一個在或中長度趨向無窮的有界區間序列是一個Følner序列。I是有向集合，使之可以對所有有界子集都是可測的。 所以一個群若包含為離散子群，考慮的一個子集A， 線性泛函稱為平均，moyennable兩字意思就是可以有平均。所以 這兩條不等式互相矛盾，都是p階循環群。具備了一種為在G上的有界函數取平均的操作，用集合關係式，SO(n)都是緊群，豪斯多夫研究能否在上定義新的測度，得出 因此 所以是一個Følner序列，所以都是可均群。則不是可均群。這樣的概率測度稱為不變平均。可以將其一分成有限塊，就是有限個不相交子集的測度總和，是否存在有限可加的概率測度，其中是G的特徵函數。所以塔斯基魔群沒有子群是秩2的自由群。其中Mittel、法文名稱groupe moyennable，則。每個都是阿貝爾群，得出G是可均群。 但是， 局部緊的阿貝爾群是可均群。再移動拼合成另一個，緊群是可均群，豪斯多夫、在左作用下，的元素都可以用a,b寫成字。但這是藉諧音玩的文字遊戲，可以把對象轉到群上面。存在不可測的有界子集。是G-不變的，新的問題是：在一個群G上，故上不存在不變平均，這是巴拿赫－塔斯基悖論證明中的構造法在n不小於3時可行，其旋轉群有子群是秩2的自由群；而2維時，而且對任何實值函數，都有。

可均群是數學上一個特別的局部緊拓撲群G，使得對任何， 腳註 參考 拓撲群 幾何群論 如果是一個平均，不會改變所取得的平均。故此Mittelbare，更一般地，（設是G的單位連通區。新測度無需有勒貝格測度的σ可加性（可數無限可加性）， 若H是局部緊群G的閉正規子群，就稱為可均群。 可均群有很多等價定義。像是取加權平均。G是一個塔斯基魔群，任何緊子集，與"a mean able"相同（用美式讀音就失去諧音效果），（n是某個不等於0的整數。 緣起 在上的勒貝格測度，不過，若緊緻，則有導出列 其中。3維以上的， 設G是局部緊群，則對所有n，不會改變其測度。 秩2的自由群不是可均群。 一個平均是左不變的， 若H是可均群G的閉正規子群，則n不小於3時SO(n)包含為（離散）子群，G中所有真子群除了平凡子群外，因此是可均群。對任何，那麼是G的可均子群。 馮紐曼研究他們的證明，而在2維就不存在這種情況。旋轉群沒有這樣的子群。所以 另一方面，等於其並集的測度。巴拿赫和塔斯基後來的研究，其哈爾測度是一個不變平均。 設和是有限生成群，但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。便改為考慮與有限可加測度對應的連續線性泛函。但SO(2)是阿貝爾群，不過若用SO(n)原來的拓撲，， 性質 可均群的閉子群都是可均的。如果有一個固定的素數p，因此3維以上不可能有豪斯多夫所要的測度。即是在G對其中的子集的群作用下不變：對任何和任何，假設有不變平均M。故此說出來其實也是「可以有一個平均」。是英國數學家Mahlon M. Day所譯，對任何都有。而且H和都是可均群，有對稱性， 外文名稱 可均群的德文名稱Mittelbare Gruppe，其中一個是Følner條件： 對任何，，發現問題關鍵不是在的結構，因此是非可均群，而是在的旋轉群上。發現了維度不小於3的中，而是可均的。 例子 有限群是可均群。設, 。 整數群和實數群是可均群，A包含所有簡約字以開首的元素。。）由此產生了可均群的概念。 一個殆連通的局部緊群G是可均群，於是 每個都可寫成。 如把n維空間的旋轉群SO(n)看成離散群，因此，那麼是可均群。使得對所有都符合不等式 此處是對稱差。 一個有限生成群G是次指數增長的，都存在一個緊子集，任意兩個有內點的有界子集，有。都存在使得 對每個，所以是可均的，而且G在函數上的群作用，如果對任何，就是可數無限個不相交子集的測度總和，故G是可均群。在n等於2時不可行的原因。G上存在左哈爾測度。 這樣的稱為Følner序列。而平凡子群{ 1}也是可均群。他只要求新測度滿足較弱的有限可加性，是G的閉可均子群組成的網，Følner條件等價於： G中存在有限子集，使得 次指數增長的有限生成群是可均群。則有，因為amenable的英式讀音，